3D坐標(biāo)繞軸旋轉(zhuǎn)公式推導(dǎo)

繞軸旋轉(zhuǎn)實(shí)際上等價(jià)于平面點(diǎn)繞遠(yuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，所以這里只用分析一下平面情況就可以。

問(wèn)題轉(zhuǎn)換為：平面上任意點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)R度后，新點(diǎn)坐標(biāo)為多少？

一、通常情況，我們?nèi)菀紫氲揭幌碌耐茖?dǎo)方式（我一開(kāi)始想到的），請(qǐng)看下圖：

綠色的點(diǎn)為原始點(diǎn)(x,y)，轉(zhuǎn)過(guò)r度后到藍(lán)色的點(diǎn)的位置，我一開(kāi)始想到的是先求出初始點(diǎn)(綠色的點(diǎn))的初始角度a,然后計(jì)算出半徑，根據(jù)三角關(guān)系可以得到新點(diǎn)的坐標(biāo)。

關(guān)系式:

a=arctan(y/x)
radio=sqrt(x*x+y*y)
新點(diǎn):x’=radio*Cos(a+r); y’=radio*Sin(a+r)

看起來(lái)貌似可以，但是編程處理旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了嚴(yán)重的問(wèn)題，在求a的時(shí)候用了x做分母，所以就限定了x不等于0，這就不好了。

二、直角坐標(biāo)系求解

思考了一天，不知道如何解決分母的問(wèn)題，突然回想起來(lái)以前學(xué)過(guò)坐標(biāo)變換，恍然大悟，汗一個(gè)。

還是需要通過(guò)幾何關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解，可以避免定義域不連續(xù)的問(wèn)題，無(wú)圖無(wú)真相！

注釋?zhuān)簣D中紅色的點(diǎn)為初始點(diǎn)，粉色的為新點(diǎn)，黑色的線為初始坐標(biāo)系，紅色的線為假想坐標(biāo)系，黃色的線都是垂線。

在坐標(biāo)變換中，我們可以換一種思考方式，點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)實(shí)際上可以理解為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到新的位置，然后求到新點(diǎn)相對(duì)于老坐標(biāo)系的坐標(biāo)即可。
圖中我們很容易得到標(biāo)注的兩個(gè)角度相等，新點(diǎn)的橫坐標(biāo)X’等于下面尺寸標(biāo)注的X*Cos(φ)-兩條黃色的垂線間的距離，而這段距離我們可以在紅色的新坐標(biāo)系中很容易求出distance=Y * Sin(φ),所以很容易就得到了新點(diǎn)的橫坐標(biāo)

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)          式①

同理，得到

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)          式②

式①和式②就是平面任一點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的方程。

對(duì)于3D坐標(biāo)中，這便是繞Z軸旋轉(zhuǎn)的公式

X’=X*Cos(φ)-Y*Sin(φ)

Y’=X*Sin(φ)+Y*Cos(φ)

Z’=Z

對(duì)于繞其他軸旋轉(zhuǎn)的公式都可以用此方法得到。

三、

采用三角函數(shù)展開(kāi)將會(huì)得到更簡(jiǎn)單的求解方法，

X'=Radio*Cos(r+a)
=Radio*(Cos( r)*Cos(a)-Sin( r)*Sin(a))
=Radio*Cos(a)*Cos( r)-Radio*Sin(a)*Sin( r)
=X*Cos( r)-Y*Sin( r)

同理得到

Y’=Radio*Sin(r+a)
=X*Sin( r)+Y*Cos( r)

看來(lái)真是要溫故而知新！

坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式

x1=cos(angle)*x-sin(angle)*y;

y1=cos(angle)*y+sin(angle)*x;

其中x，y表示物體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)angle的角度之前的坐標(biāo)，x1，y1表示物體旋轉(zhuǎn)angle后相對(duì)于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)

從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，此公式可以用來(lái)計(jì)算某個(gè)點(diǎn)繞另外一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后的坐標(biāo)，例如：A（x，y）繞B（a，b)旋轉(zhuǎn)β度后的位置為C（c，d），則x，y，a，b，β，c，d有如下關(guān)系式：

1。設(shè)A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)前的角度為δ，則旋轉(zhuǎn)(逆時(shí)針)到C點(diǎn)后角度為δ+β

2。求A，B兩點(diǎn)的距離：dist1=|AB|=y/sin(δ)=x/cos(δ)

3。求C，B兩點(diǎn)的距離：dist2=|CB|=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

4。顯然dist1=dist2，設(shè)dist1=r所以：

r=x/cos(δ)=y/sin(δ)=d/sin(δ+β)=c/cos(δ+β)

5。由三角函數(shù)兩角和差公式知：

sin(δ+β)=sin(δ)cos(β)+cos(δ)sin(β)

cos(δ+β)=cos(δ)cos(β)-sin(δ)sin(β)

所以得出：

c=r*cos(δ+β)=r*cos(δ)cos(β)-r*sin(δ)sin(β)=xcos(β)-ysin(β)

d=r*sin(δ+β)=r*sin(δ)cos(β)+r*cos(δ)sin(β)=ycos(β)+xsin(β)

即旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)c，d只與旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)x，y及旋轉(zhuǎn)的角度β有關(guān)

從圖中可以很容易理解出A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的C點(diǎn)總是在圓周上運(yùn)動(dòng)，圓周的半徑為|AB|，利用這點(diǎn)就可以使物體繞圓周運(yùn)動(dòng)，即旋轉(zhuǎn)物體。

上面公式是相對(duì)于B點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)的，也就是假如B點(diǎn)位（0,0）可以這么做。現(xiàn)在給出可以適合任意情況的公式：

x0 = dx * cos(β) - dy * sin(β)

y0 = dy * cos(β) + dx * sin(β)

參數(shù)解釋?zhuān)?/p>

x0,y0是旋轉(zhuǎn)后相對(duì)于中心點(diǎn)的坐標(biāo)，也就是原點(diǎn)的坐標(biāo)，但不是之前點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的實(shí)際坐標(biāo)，還要計(jì)算一步，

β旋轉(zhuǎn)角度，可以是順時(shí)針或者逆時(shí)針。

dx是旋轉(zhuǎn)前的x坐標(biāo)-旋轉(zhuǎn)后的x坐標(biāo)

dy是旋轉(zhuǎn)前的y坐標(biāo)-旋轉(zhuǎn)后的y坐標(biāo)

x1=a+x0;

y1=b+y0;

上面才是旋轉(zhuǎn)后的實(shí)際坐標(biāo)，其中a，b是原點(diǎn)坐標(biāo)

下面是上面圖的公式解答：

x0=(x-a)*cos(β)-(y-b)*sin(β);

y0=(y-b)*cos(β)+(x-a)*sin(β);

x1=x0+a;

y1=y0+b;