上面這副圖就是我們今天要處理的了，我們想把它從拍照視角變成鳥(niǎo)瞰圖，這是機(jī)器人導(dǎo)航中的常用手段，以便在該平面上進(jìn)行規(guī)劃和導(dǎo)航。

這種變換常常用到透視變換，但我們今天在講解透視變換時(shí)，需要普及一下其他的變換，包括平移，旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)切，放縮，以及仿射變換。

綜述

所有復(fù)雜的東西，都是由基本的組成的。所以我們需要先了解一下基礎(chǔ)的變換有哪些：

平移

我們對(duì)矩形（圖像）平移，需要怎么做？

對(duì)每一個(gè)像素點(diǎn)坐標(biāo)平移。可以讓每一個(gè)像素點(diǎn)的x,y坐標(biāo)都加一個(gè)變量。

矩陣形式表示：

等式左邊[X,Y,1]是像素坐標(biāo)的齊次形式。等式右邊是平移之后的坐標(biāo)。

放縮

進(jìn)行放縮，就是將矩形（圖像）放縮n倍，也就是長(zhǎng)寬各乘一個(gè)變量。

旋轉(zhuǎn)

對(duì)矩形（圖片）進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，關(guān)于旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)在后面仿射會(huì)介紹：

錯(cuò)切

前面的都比較直觀，那錯(cuò)切是什么呢？

我們可以看下矩形關(guān)于y方向的錯(cuò)切：

看圖就很直觀了，那數(shù)學(xué)表達(dá)呢？

x軸上的錯(cuò)切就是同理了，公式如下：

然后兩者和起來(lái)，就如下了：

好了，到此我們就了解了這四種變換了，那仿射變換是什么呢？可以看下圖公式：

等式右邊就是仿射變換矩陣，是由原圖像平移，旋轉(zhuǎn)，放縮，錯(cuò)切之后得來(lái)的。

在書(shū)上往往將仿射變換和透視變換放一起講，這兩者各是什么呢？

在剛學(xué)仿射變換和透視變換時(shí)，我是有些分不清的。印象最深刻的就是下圖：

可以看到，仿射變換（下）是將矩形變換成平行四邊形（即變換后各邊依舊平行），而透視變換（上）可以變換成任意不規(guī)則四邊形。

這樣看來(lái)，好像仿射變換是透視變換的子集。

那到底是不是呢？其實(shí)是的。仿射變換屬于線性變換，而透視變換則不僅僅是線性變換。仿射變換可以看做是透視變換的一種特例。

直觀上感受，我們可以認(rèn)為：

仿射變換是單純對(duì)圖片進(jìn)行縮放，傾斜和旋轉(zhuǎn)，因此圖片不論如何變化，線之間的平行性是不變的。如下圖。

可以感受到，右圖是可以通過(guò)左圖平移，旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)切，縮放之后得來(lái)。

而透視變換，則是當(dāng)觀察者的視角發(fā)生變化時(shí)物體發(fā)生的透視變換，此轉(zhuǎn)換允許造成透視形變。

我們看下圖的公路，近處寬遠(yuǎn)處窄，就是因?yàn)橐暯堑脑颍?/p>

而我們本文要做的，就是將視角改為鳥(niǎo)瞰，從而得到類似下圖的鳥(niǎo)瞰圖：

仿射變換原理

前文已經(jīng)說(shuō)了，仿射變換是單純對(duì)圖片進(jìn)行平移，縮放，傾斜和旋轉(zhuǎn)，而這幾個(gè)操作都不會(huì)改變圖片線之間的平行關(guān)系。

opencv中給出了仿射變換的函數(shù)接口：

這個(gè)函數(shù)很好理解，輸入一個(gè)圖像，輸出這個(gè)圖像的仿射變換。

但第三個(gè)參數(shù)需要我們輸入2*3的仿射計(jì)算矩陣，這是什么鬼？

我們先看一下仿射計(jì)算矩陣長(zhǎng)什么樣子（可以去掉最后一行）：

我們的輸出圖像G(x,y) = F(x,y)乘仿射矩陣。

我們可以看下圖推導(dǎo)出仿射計(jì)算矩陣。

一個(gè)點(diǎn)P在原始坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是(Xsp,Ysp)。然后要完成旋轉(zhuǎn)操作，旋轉(zhuǎn)操作是基于原點(diǎn)的。如何得到旋轉(zhuǎn)之后的點(diǎn)的坐標(biāo)，這里用到一個(gè)技巧：

坐標(biāo)系中某個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)可以等價(jià)地去旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸。

所以有了上圖中以(Xs0,Ys0)為中心的虛線與屏幕水平垂直的坐標(biāo)系。在這個(gè)坐標(biāo)系中確定P的坐標(biāo)，和在藍(lán)色坐標(biāo)系中確定旋轉(zhuǎn)之后P的坐標(biāo)是等價(jià)的。

基于這個(gè)結(jié)論，我們可以通過(guò)簡(jiǎn)單的立體幾何知識(shí)確定P在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。P在新坐標(biāo)系中的X坐標(biāo)和Y坐標(biāo)分別是

進(jìn)而我們可以得到：

到此，我們完成了旋轉(zhuǎn)操作，如何平移呢？?jī)H是加一個(gè)平移常數(shù)的事：

到此，我們的2*3大小的仿射變換便推導(dǎo)出來(lái)了。

推導(dǎo)知道了，但如何實(shí)現(xiàn)呢？

opencv同樣給我們提供了計(jì)算仿射矩陣的函數(shù)接口：

這個(gè)函數(shù)可以計(jì)算出我們想要圖像變換的矩陣，但需要我們輸入至少三對(duì)點(diǎn)集，點(diǎn)集是什么鬼？為什么是至少三對(duì)？

我們可以看到上面公式里有六個(gè)變量，因此自然需要至少列六個(gè)等式才可計(jì)算出該矩陣。

因此我們需要找輸入圖像和輸出圖像上一一對(duì)應(yīng)的三對(duì)點(diǎn)（3個(gè)x,y對(duì)應(yīng)計(jì)算式）來(lái)作為輸入。

這樣，我們就可以進(jìn)行仿射變換啦。

透視變換原理

我們說(shuō)仿射變換是在二維空間中的旋轉(zhuǎn)，平移和縮放。而透視變換則是在三維空間中視角的變化。

opencv中同樣給出了透視變換的函數(shù)接口：

和仿射變換基本相同，不同的是輸入透視變換矩陣M大小為3*3：

上面矩陣的未知量比仿射變換的矩陣多了一個(gè)透視變換矩陣T3（兩個(gè)未知量），因此我們需要給下面計(jì)算透視變換矩陣的函數(shù)提供四對(duì)以上的點(diǎn)來(lái)求解

T1為線性變換完成旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)切和放縮，T2完成平移操作。T3就是設(shè)了兩個(gè)變量來(lái)表示映射關(guān)系。

編程實(shí)現(xiàn)

理解了透視變換的原理后，我們就著手來(lái)實(shí)現(xiàn)了（代碼可以順次復(fù)制即可運(yùn)行）：

首先是讀取原圖片并顯示啦：

然后我們需要選取原圖上的四個(gè)點(diǎn)，并計(jì)算出該四對(duì)點(diǎn)變換后的位置。

如何選點(diǎn)？我們可以選兩邊白條的四個(gè)定點(diǎn)。那變換后的位置就需要我們自己估算了，如下圖：

我們希望將藍(lán)色的透視變換為黃色的。

我們選取了如圖四個(gè)點(diǎn)，首先計(jì)算透視變換矩陣：

然后進(jìn)行透視變換：

這樣，我們就得到鳥(niǎo)瞰圖啦。