圖像的形態(tài)學(xué)處理是以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為理論基礎(chǔ)，借助數(shù)學(xué)對圖像進(jìn)行形態(tài)圖像處理的技術(shù)。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)由一組形態(tài)學(xué)代數(shù)算子組成，最基本的形態(tài)學(xué)代數(shù)算子包括腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算等。通過組合應(yīng)用這些算子，可以實(shí)現(xiàn)對圖像形狀、結(jié)構(gòu)的分析和處理。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以完成圖像分割、特征提取、邊界檢測、圖像濾波、圖像增強(qiáng)和恢復(fù)等工作。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)之上的圖像分析學(xué)科，是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像a處理的基本理論。其基本的運(yùn)算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運(yùn)算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態(tài)學(xué)梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換、灰值腐蝕和膨脹、灰值開閉運(yùn)算、灰值形態(tài)學(xué)梯度等。

膨脹與腐蝕(Dilation與Erosion)。

膨脹與腐蝕能實(shí)現(xiàn)多種多樣的功能，主要如下：

? 消除噪聲

? 分割(isolate)出獨(dú)立的圖像元素，在圖像中連接(join)相鄰的元素。

? 尋找圖像中的明顯的極大值區(qū)域或極小值區(qū)域

? 求出圖像的梯度

㈠圖像的膨脹(dilate)

膨脹在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中的作用是擴(kuò)展物體的邊界點(diǎn)。在數(shù)字圖像處理中，對于確定的結(jié)構(gòu)元素，通過膨脹運(yùn)算可以對于一些相臨距離較短的區(qū)域進(jìn)行連接。不過，圖像的膨脹處理是雜點(diǎn)敏感的，細(xì)小的雜點(diǎn)通過膨脹處理往往會(huì)變得較為明顯。

膨脹的原理：       

在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，設(shè)A為(x,y)平面上一目標(biāo)區(qū)域，S為指定大小和形狀的結(jié)構(gòu)元素，定義位于坐標(biāo)(x，y)上的結(jié)構(gòu)元素S所標(biāo)識的區(qū)域?yàn)镾（x，y），那么對于A的膨脹結(jié)果可以表示為：

其實(shí)，膨脹就是求局部最大值的操作。

按數(shù)學(xué)方面來說，膨脹或者腐蝕操作就是將圖像（或圖像的一部分區(qū)域，我們稱之為A）與核（我們稱之為B）進(jìn)行卷積。

核可以是任何的形狀和大小，它擁有一個(gè)單獨(dú)定義出來的參考點(diǎn)，我們稱其為錨點(diǎn)（anchorpoint）。多數(shù)情況下，核是一個(gè)小的中間帶有參考點(diǎn)和實(shí)心正方形或者圓盤，其實(shí)，我們可以把核視為模板或者掩碼。

而膨脹就是求局部最大值的操作，核B與圖形卷積，即計(jì)算核B覆蓋的區(qū)域的像素點(diǎn)的最大值，并把這個(gè)最大值賦值給參考點(diǎn)指定的像素。這樣就會(huì)使圖像中的高亮區(qū)域逐漸增長。如下圖所示，這就是膨脹操作的初衷。

㈡圖像的腐蝕(Erosion)

腐蝕在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中的作用是消除物體的邊界點(diǎn)。在數(shù)字圖像處理中，對于確定的結(jié)構(gòu)元素，通過腐蝕運(yùn)算可以消除小于結(jié)構(gòu)元素的點(diǎn)。同時(shí)，若一個(gè)目標(biāo)區(qū)域中含有細(xì)小的連接部分，那么通過腐蝕處理可以對區(qū)域進(jìn)行分割。

在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中，設(shè)A為(x,y)平面上一目標(biāo)區(qū)域，S為指定大小和形狀的結(jié)構(gòu)元素，定義位于坐標(biāo)(x，y)上的結(jié)構(gòu)元素S所標(biāo)識的區(qū)域?yàn)镾（x，y），那么對于A的腐蝕結(jié)果可以表示為：腐蝕的原理：

對于相同的圖像，用不同的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行腐蝕操作的結(jié)果是不同的，因此結(jié)構(gòu)元素的形狀和大小往往直接決定了腐蝕操作的性能和效果。

再來看一下腐蝕，大家應(yīng)該知道，膨脹和腐蝕是一對好基友，是相反的一對操作，所以腐蝕就是求局部最小值的操作。

我們一般都會(huì)把腐蝕和膨脹對應(yīng)起來理解和學(xué)習(xí)。下文就可以看到，兩者的函數(shù)原型也是基本上一樣的。 

原理圖：

利用基本的膨脹和腐蝕技術(shù)，來執(zhí)行更加高級的形態(tài)學(xué)變換，如開閉運(yùn)算、形態(tài)學(xué)梯度、“頂帽”、“黑帽”等等。

理論與概念講解——從現(xiàn)象到本質(zhì)

首先呢，要知道形態(tài)學(xué)的高級形態(tài)，往往都是建立在腐蝕和膨脹這兩個(gè)基本操作之上的。

㈢開運(yùn)算（Opening Operation）

開運(yùn)算（Opening Operation），其實(shí)就是先腐蝕后膨脹的過程。 其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

開運(yùn)算可以 用來消除小物體、在纖細(xì)點(diǎn)處分離物體、平滑較大物體的邊界的同時(shí)并不明顯改變其面積。效果圖是這樣的：

㈣閉運(yùn)算(Closing Operation)

先膨脹后腐蝕的過程稱為閉運(yùn)算(Closing Operation)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

㈤形態(tài)學(xué)梯度（MorphologicalGradient）

形態(tài)學(xué)梯度（Morphological Gradient）為膨脹圖與腐蝕圖之差，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

㈥頂帽（Top Hat）對二值圖像進(jìn)行這一操作可以將團(tuán)塊（blob）的邊緣突出出來。我們可以用形態(tài)學(xué)梯度來保留物體的邊緣輪廓，如下所示:

頂帽運(yùn)算（Top Hat）又常常被譯為”禮帽“運(yùn)算。為原圖像與上文剛剛介紹的“開運(yùn)算“的結(jié)果圖之差，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

頂帽運(yùn)算往往用來分離比鄰近點(diǎn)亮一些的斑塊。當(dāng)一幅圖像具有大幅的背景的時(shí)候，而微小物品比較有規(guī)律的情況下，可以使用頂帽運(yùn)算進(jìn)行背景提取。因?yàn)殚_運(yùn)算帶來的結(jié)果是放大了裂縫或者局部低亮度的區(qū)域，因此，從原圖中減去開運(yùn)算后的圖，得到的效果圖突出了比原圖輪廓周圍的區(qū)域更明亮的區(qū)域，且這一操作和選擇的核的大小相關(guān)。

㈦黑帽（Black Hat）

黑帽（Black Hat）運(yùn)算為”閉運(yùn)算“的結(jié)果圖與原圖像之差。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

黑帽運(yùn)算后的效果圖突出了比原圖輪廓周圍的區(qū)域更暗的區(qū)域，且這一操作和選擇的核的大小相關(guān)。

所以，黑帽運(yùn)算用來分離比鄰近點(diǎn)暗一些的斑塊。非常完美的輪廓效果圖：