一、圖像的平移變換

　　設(shè)圖像的高度為H，寬度為W，如下所示：

我們知道，圖像是由像素組成的，而像素的集合就相當(dāng)于一個二維的矩陣，每一個像素都有一個“位置”，也就是像素都有一個坐標(biāo)。假設(shè)原來的像素的位置坐標(biāo)為（x0,y0），經(jīng)過平移量（△x，△y）后，坐標(biāo)變?yōu)椋▁1,y1），如下所示：

用數(shù)學(xué)式子表示可以表示為：

　　　　　　　　　　　　　　x1 = x0 + △x,

　　　　　　　　　　　　　　y1 = y0 + △y；

用矩陣表示為：

本來使用二維矩陣就可以了的，但是為了適應(yīng)像素、拓展適應(yīng)性，這里使用三位的向量。

式子中，矩陣：

稱為平移變換矩陣（因子），△x和△y為平移量。

這里將變換矩陣變?yōu)槿腥锌梢詽M足所有幾何變換要求。

矩陣：稱為坐標(biāo)系矩陣，將二維圖像變?yōu)槿S圖像，多常數(shù)1。

此外，我們也知道了，圖像的高度H其實也就是像素的行數(shù)，對于坐標(biāo)1≤X≤H；圖像的長度也就是像素的列數(shù)，對應(yīng)坐標(biāo)1≤Y≤W。

對于原圖中被移出圖像顯示區(qū)域的點通常也有兩種處理方法：直接丟棄或者通過加目標(biāo)圖像的尺寸〈將新生成的圖像寬度增加TxTx，高度增加TyTy〉的方法使新圖像中能夠包含這些點。

二、圖像的鏡像變換

　　圖像的鏡像變換分為水平鏡像和垂直鏡像。水平鏡像即將圖像左半部分和右半部分以圖像堅直中軸線為中心軸進(jìn)行對換；而豎直鏡像則是將圖像上半部分和下半部分以圖像水平中軸線為中心軸進(jìn)行對換.

下面分別進(jìn)行這兩種鏡像的介紹，首先說明一下，無論是水平鏡像還是垂直鏡像，鏡像后高度和寬度都不變。

H圖像的高度，關(guān)聯(lián)x          W：圖像的寬度，關(guān)聯(lián)y

·水平鏡像操作：以原圖像的垂直中軸線為中心，將圖像分為左右兩部分進(jìn)行對稱變換。示意圖如下所示：

　　水平鏡像中，原圖中的（x0,y0）經(jīng)過水平鏡像后，坐標(biāo)變成了（x0,W-y0），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是：

　　　　　　　　　　x1 = x0,

　　　　　　　　　　y1 = W-y0 ;

寫成矩陣就是：

也就是說，水平鏡像變換矩陣（因子）為：

·垂直鏡像操作：以原圖像的水平中軸線為中心，將圖像分為上下兩部分進(jìn)行對稱變換。示意圖如下所示

　　垂直鏡像中，原圖中的（x0,y0）經(jīng)過垂直鏡像后，坐標(biāo)變成了（H-x0,y0），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是：

　　　　　　　　x1 = H - x0,

　　　　　　　　y1 = y0 ;

寫成矩陣就是：

也就是說，垂直鏡像變換矩陣（因子）為：

三、圖像的轉(zhuǎn)置變換

　　圖像的轉(zhuǎn)置就是將圖像像素的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)互換。這樣將改變圖像的高度和寬度，轉(zhuǎn)置后圖像的高度和寬度也將互換。

圖像的轉(zhuǎn)置用數(shù)學(xué)公式描述就是：

   　　　　　　x1 = y0,

                            y1 = x0;

寫出矩陣如下所示：

四、圖像的旋轉(zhuǎn)

　　一般情況下，旋轉(zhuǎn)操作會有一個旋轉(zhuǎn)中心，這個旋轉(zhuǎn)中心一般為圖像的中心，旋轉(zhuǎn)之后圖像的大小一般會發(fā)生改變。圖像像素原來的坐標(biāo)為（x0,y0），（順時針）選擇Θ角度后得到（x1,y1），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下所示：

             x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ，

             y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ；

用矩陣表示如下所示：

五、圖像的縮放

圖像的比例縮放變換是指給定的圖像在x軸方向按比例縮放f_x倍，在y軸方向縮放f_y倍，從而獲得一幅新的圖象。比例縮放前后兩點P₀(x₀,y₀)、P(x,y)之間的關(guān)系用矩陣形式可以表現(xiàn)為：

數(shù)學(xué)公式表達(dá)：

       x1 = x0·Fx，

       y1 = -y0·Fy；

在圖像放大的正變換中，會出現(xiàn)很多的空格。因此，需要對放大后所多出來的空格填入適當(dāng)?shù)南袼刂?。一般采用最鄰近插值和線性插值法。

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